数学建模入门试题极其答案

1. 你要在雨中从一处沿直线走到另一处,雨速是常数,方向不变。

你是否走得越快,淋雨量越少呢? 2. 假设在一所大学中,一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。

再设图书馆平均一周收回借出书的 1/10,若在充分长 的时间内,一位普通教授大约借出多少年本书? 3. 一人早上 6:00 从山脚 A 上山,晚 18:00 到山顶 B;第二天,早 6:00 从 B 下山,晚 18:00 到 A。

问是否有一个时刻 t,这两天都 在这一时刻到达同一地点? 4. 如何将一个不规则的蛋糕 I 平均分成两部分? 5. 兄妹二人沿某街分别在离家 3 公里与 2 公里处同向散步回家,家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。

已知哥哥的速度为 3 公里/小时, 妹妹的速度为 2 公里/小时,狗的速度为 5 公里/小时。

分析半小时 后,狗在何处? 6. 甲乙两人约定中午 12:00 至 13:00 在市中心某地见面,并事先 约定先到者在那等待 10 分钟,若另一个人十分钟内没有到达,先 到者将离去。

用图解法计算,甲乙两人见面的可能性有多大? 7. 设有 n 个人参加某一宴会,已知没有人认识所有的人,证明:至 少存在两人他们认识的人一样多。

8. 一角度为 60 度的圆锥形漏斗装着 10 厘米高的水(如右图) ,其下 端小孔的 面积为 0.5 平方厘米,求这些水流完需要多少时间? 9. 假设在一个刹车交叉口,所有车辆都是由东驶上一个 1/100 的斜 10cm

图1

坡,计算这种情 下的刹车距离。

如果汽车由西驶来,刹车距离又是多少? 10.水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。

包扎 时用很长的带子缠绕在管道外部。

为了节省材料,如何进行包扎 才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

1.解:把人体简化为长方柱,表面积之比为前:侧:顶=1:a:b,选坐 标系将人的速度表示为(v,0,0),即人沿 x 周方向走,v>0,而设语雨速 为(x,y,z),行走距离为 L,则淋雨量 Q 的表达式为: Q=[ Q=|x-a|+a|y|+b|z|]*L/v 记 q=a|x|+b|z|,则 L( Q(v)= L( q+x v q−x − 1 ),v≤x v +1),v>x Q/L 在 q≥x 和 qx q

图2

收回书的 1/10, 设教授已借出书的册数是时间 t 的函数小 x(t)的函数, 则它应满足(时间 t 以周为单位) X(0)=0 其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性方程初始问题得X(t) 由于当t -t/1 =70[1-e −t 10 ] ∞时,其极限值为70,故在充分长的时间内,一位普通教授大约已 借出70 本书。

3.解:我们从山脚A 点为始点记路程,设从A 到B 路程函数为f(t), 即t 时刻走的距离为f(t);同样设从B 点到A 点的路程为函数g(t) 。

由题意有 f(8)=0,f(18)=|AB|,g(8)=|AB|,g(18)=0; 令h (t) f t) (t) 则有h(8)= f(8) -- g = ( --g , (8) |AB||<0, h(6)=f(6) -- g(6)= | AB|>0 =-又注意f(t) ,g(t)都是时刻t 的连续函数,因此h(t)也是时刻t 的连续函数, 由连续函数的介质定理,一定存在某时刻t。

使h(t。

)=0,即f(t。

)=g(t。

) 所以存在一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点。

4.解:设 I 为平面上任一封闭曲线,p 为平面上一点(不妨设 p 在 I 内) ,则存在已过点 p 的直线,将 I 所围的面积二等 分,如下图

图3

l S2 p S1 a 0 设 l 为过点 p 的一条直线,若 S1= S1,则得证,否则设 S1 >S2,l 与 x 轴夹角为 a,让 l 逆时针绕 p 旋转 S2 ,S2,则 S1,S2 随 a 的变化连 续的变化,记其面积为 S1a) ,S2(a),则记 S1(a)= S1, S2(a)= S2, f(a+∏)<0,且 f(a)连续,由连续函数的介值定理知,在(0,∏) 存在ā使 f(ā)=0,a=ā对应的直线即为所求。

5.解:哥哥与妹妹的速度分别为 3 公里/小时及 2 公里/小时,因此 一小时后,哥哥与妹妹都已到家,而狗一直在二者之间,因此狗已到 家。

6. 设甲乙两人分别在 12 点 x 分及 y 分等可能到达到达约定地点, 解: 显然 0≤x≦60,0≦y≦60,若两人相遇则有|x-y|≦10,这是一个几 何概率问题,其中样本空间为 A={(x,y)|≤x≦60,0≦y≦60} 它 构 成 了 空 间 直 角 标 系 中 的 正 方 形 , 相 遇 空 间 为

图4

y 60 a g 10 0 10 60 x G={(x,y), |x-y|≦10} 其图形见上图阴影部分,Sa,Sg 分别表示正方形、阴影部分的面积, 从而相遇的概率为 P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)≈0.306 7. 证明: 设第 i 个人认识的人为 s (i) 则 s , (i) ∈{0.1.2.3……N-1} 设没有两个人认识的人一样多,则 s(1) ,s(2) ,……互不相等, 则 s(i)取遍集合{0、1、2……N-1}中的一个值,即至少存在某两 个人 k1,k2 使 s(k1)=N-1,s(k2)=0,而对第 ki 个人,由于(ki) =N-I,故他必然认识第 k2 人,故 s(k)至少为 1,与 s(k2)=0 矛 盾,得证。

8.解:由水力学定律可知 Q=dv/dt=0.62S 2 gh ,其中 0.62 为流量系 数 S 为空口横截面,g 为重力加速度,h 为从从空口到水面的高度, 故有 dv=0.31 2 gh dt, 另一方面,在△t 时间内,水面由 h 降至 h+dh(dh<0),则仅有

图5

dv=-∏r*r*dh=-∏/3*h*h*dh, 所以有 0.31 2 gh dt=-∏/3*h*h*dh, 再由 h(0)=10,联立求得其解为 t=(∏/3)*(2/5)*1/(0.31 2 g ( 2.5 10 - 2.5 h ,当水流完时,h=0, 解得 t=2∏/(15*0.31 2 g )* 2.5 10 9.解:设 t=0 时为开始刹车的时刻,x(t)为从 t=0 到 t 时刻所幸 的 -uW w g 距 100 离 , 由 刹 车 时 所 受 的 制 动 力 为 100 *100 + 1 -W* 1 100 *100 + 1 ,其中 W 为车重,故 x(t)满 100 *100 + 1 足 *d(dt/dt)/dt=-uW 错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

-W* 1 又由 x(0)=0,dx/dt|t=0=v。

解得 x(t)=-1/2(100ug 故制动时间为 tb=v。

/( 100ug 100 *100 + 1 100 *100 + 1 + g 100 *100 + 1 ) t +v。

*t 2 + g 100 *100 + 1 ) 因此刹车距离为 x(tb)=1/2*[ v。

/( 100ug 100 *100 + 1 + g 100 *100 + 1 )] 同 理 可 得 汽 车 由 西 驶 来 时 , 刹 车 距 离 为 1/2*[ v 。

/( 100ug 100 *100 + 1 + g 100 *100 + 1 )] 10.解:假设管道是直的圆的、粗细一样,带子宽度一样。

参数宽为 W,圆管周长为 C,缠绕角度为 a, C a

图6

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